Оглавление:
Это могут быть равенства вида x=5, y=6 и т.д., а также те, что включают в себя арифметические действия, к примеру, x+7=38, z−4=2, 8·t=4, 6:x=3. После того, как изучено понятие скобок, появляется понятие уравнений со скобками. К ним относятся 7·(x−1) =19, x+6·(x+6·(x−8))=3 и др.
Буква, которую надо найти, может встречаться не один раз, а несколько, как, например, в уравнении x+2+4·x−2−x=10. Также неизвестные могут быть расположены не только слева, но и справа или в обеих частях одновременно, например, x·(8+1)−7=8, 3−3=z+3 или 8·x−9=2·(x+17). Далее, после того, как ученики знакомятся с понятием целых, действительных, рациональных, натуральных чисел, а также логарифмами, корнями и степенями, появляются новые уравнения, включающие в себя все эти объекты.
Примерам таких выражений мы посвятили отдельную статью.
В программе за 7 класс впервые возникает понятие переменных.
в статье о числовых, буквенных выражениях и выражениях с переменными)
Надеюсь, теперь ты сможешь различать, к какому виду относится уравнение.
Как рациональные уравнения решать помнишь? Если забыл, то советую почитать ().
Если читать лень, напомню вкратце. Для верного решения рациональных уравнений, ты должен придерживаться следующего руководства: Понять, точно ли перед тобой рациональное уравнение (убедись, что в нем нет корней); Определить ОДЗ; Найти общий знаменатель дробей и умножить на него обе части уравнения; Решить получившееся целое уравнение; Исключить
Задание В5. Простейшие уравнения
Для этого в формуле корней берем знак «минус»: х = (17 — 1):2 = 8 Нужный корень можно найти устно и быстро, если вам знакома теорема Виета. Ответ: 8 Задача 3. Решите уравнение (2x+7)² = (2x — 1)². Решение Это уравнение сводится к линейному, если раскрыть скобки.
4х² + 28х +49 = 4х² — 4х + 1 28х +4х = 1- 49 32х = -48 х = -1,5 Ответ: -1,5 Задача 4. Решите уравнение х² — 16 = 0.
Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.
Решение Неполное квадратное уравнение.
х² = 16 Уравнение имеет 2 противоположных корня.
Требуется определение дискриминанта: возводим в квадрат 3 – второй коэффициент и отнимаем произведение 1 и 3. В итоге получим 6 – значит, доведя до конца расчет, обнаружим, что у этого уравнения корней 2.
Если бы дискриминант выражался числом отрицательным, то изощряться в вычислении корней было бы нерационально – их просто нет. В случае если D=0, корень только 1. Теперь все-таки выполним расчет, чтобы определить эти 2 корня.
Для подсчета 1 корня ко второму коэффициенту со знаком – прибавляем корень из D и делим это на удвоенный первый коэффициент: -3 + квадратный корень из 16, делим на 2. Выйдет 1/2. Вычисление второго аналогично, только корень из D вычитаем. Имеем в результате – 3 целых и 1/2.
3 Сложнее квадратного уравнение кубическое. Вид у него такой: х3-3х2-4х+20=0.
Подбираем число, на которое можно поделить свободный член, чтобы слева появился 0. Делители для 20 – это ±1, ±2, ±4, ±5, ± 10, ± 20.
Например, -(2х-3)=-2х+3.
3 Раскрытием скобок иногда также называют возведение выражения в степень. Формулы возведения в квадрат и в куб надо знать наизусть и помнить.(a+b)^2=a^2+2ab+b^2(a-b)^2=a^2-2ab+b^2(a+b)^3=a^3+3a^2*b+3ab^2+b^3(a-b)^3=a^3-3a^2*b+3ab^2-b^3Формулы возведения выражения в степени больше трех можно получить при помощи треугольника Паскаля.
Источники:
Это просто!
Поиск всех возможных корней уравнения является его решением.
То есть нужно выполнить ряд математических действий, которые его упрощают. А потом приводят к равенству, в котором содержится только неизвестная и какое-либо число.
В алгебре при решении уравнений можно прийти к такой ситуации, что корней не будет совсем. Тогда говорят о том, что оно неразрешимо. А в ответе такого уравнения нужно записать, что решений нет.
Но иногда бывает и противоположное.
В нем «а» всегда не равно нулю. Чтобы понять сколько корней имеет уравнение, его потребуется решить в общем виде.
Например, уравнение
. Если один из коэффициентов или равен нулю или оба коэффициента равны нулю, то квадратное уравнение называется неполным.
Например,
. Значение неизвестного
, при котором квадратное уравнение обращается в верное числовое равенство, называется корнем этого уравнения. Например, значение
является корнем квадратного уравнения
, потому что
или
— это верное числовое равенство.
А именно:
Обратите внимание: дискриминант указывает на количество корней, а вовсе не на их знаки, как почему-то многие считают. Взгляните на примеры — и сами все поймете: Задача.
Сколько корней имеют квадратные уравнения:
Выпишем коэффициенты для первого уравнения и найдем дискриминант:a = 1, b = −8, c = 12;D = (−8)2 − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16 Итак, дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два различных корня.
Аналогично разбираем второе уравнение:a = 5; b = 3; c = 7;D = 32 − 4 · 5 · 7 = 9 − 140 = −131.
Дискриминант отрицательный, корней нет.
Осталось последнее уравнение:a = 1; b = −6; c = 9;D = (−6)2 − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.
Дискриминант равен нулю — корень будет один.
Обратите внимание, что для каждого уравнения были выписаны коэффициенты.
может иметь всего один корень, может иметь несколько корней или не иметь корней вообще.
Например, корнем уравнения 10 — x = 2 является число 8, а у уравнения x2 = 49 два корня – +7 и -7.
Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что их нет.
Кроме числовых уравнений, подобных приведённым выше, где все известные величины обозначены числами, существуют ещё буквенные уравнения, в которых кроме букв, обозначающих неизвестные, входят ещё буквы, обозначающие известные (или предполагаемые известные) величины.