Главная - Лицензирование - Уравнения с нахождением корня и скобкой

Уравнения с нахождением корня и скобкой


Уравнения с нахождением корня и скобкой

Уравнение и его корни: определения, примеры


Это могут быть равенства вида x=5, y=6 и т.д., а также те, что включают в себя арифметические действия, к примеру, x+7=38, z−4=2, 8·t=4, 6:x=3. После того, как изучено понятие скобок, появляется понятие уравнений со скобками. К ним относятся 7·(x−1) =19, x+6·(x+6·(x−8))=3 и др.

Буква, которую надо найти, может встречаться не один раз, а несколько, как, например, в уравнении x+2+4·x−2−x=10. Также неизвестные могут быть расположены не только слева, но и справа или в обеих частях одновременно, например, x·(8+1)−7=8, 3−3=z+3 или 8·x−9=2·(x+17). Далее, после того, как ученики знакомятся с понятием целых, действительных, рациональных, натуральных чисел, а также логарифмами, корнями и степенями, появляются новые уравнения, включающие в себя все эти объекты.

Примерам таких выражений мы посвятили отдельную статью.

В программе за 7 класс впервые возникает понятие переменных.

в статье о числовых, буквенных выражениях и выражениях с переменными)

Иррациональные уравнения.
Это такие буквы, которые могут принимать разные значения (подробнее см.
Исчерпывающий гид.

Надеюсь, теперь ты сможешь различать, к какому виду относится уравнение.

Но только отличать рациональное от иррационального недостаточно, тебе же решать их надо! Вся сложность в корнях, так? Так избавься от них, вот и все дела! Если еще не догадался как, то я подскажу – просто возведи в нужную степень обе части уравнения, а потом решай его как простое рациональное уравнение, но проверяй все корни, позже поймешь почему.
Как рациональные уравнения решать помнишь? Если забыл, то советую почитать ().

Если читать лень, напомню вкратце. Для верного решения рациональных уравнений, ты должен придерживаться следующего руководства: Понять, точно ли перед тобой рациональное уравнение (убедись, что в нем нет корней); Определить ОДЗ; Найти общий знаменатель дробей и умножить на него обе части уравнения; Решить получившееся целое уравнение; Исключить

ЕГЭ.

Задание В5. Простейшие уравнения

Для этого в формуле корней берем знак «минус»: х = (17 — 1):2 = 8 Нужный корень можно найти устно и быстро, если вам знакома теорема Виета. Ответ: 8 Задача 3. Решите уравнение (2x+7)² = (2x — 1)². Решение Это уравнение сводится к линейному, если раскрыть скобки.

4х² + 28х +49 = 4х² — 4х + 1 28х +4х = 1- 49 32х = -48 х = -1,5 Ответ: -1,5 Задача 4. Решите уравнение х² — 16 = 0.

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Решение Неполное квадратное уравнение.

х² = 16 Уравнение имеет 2 противоположных корня.

Выбираем меньший, т.е. отрицательный: х = — 4 Ответ: -4. Задача 5. Найдите корень уравнения (x-1)³ = 8. Решение Не следует здесь возводить в куб двучлен. Лучше извлекём кубический корень из обеих частей уравнения. Обратите внимание: мы имеем право это делать, т.к. корень нечетной степени (с квадратными корнями так не поступайте, потеряете решение).

Как находить корень уравнения

Требуется определение дискриминанта: возводим в квадрат 3 – второй коэффициент и отнимаем произведение 1 и 3. В итоге получим 6 – значит, доведя до конца расчет, обнаружим, что у этого уравнения корней 2.

Если бы дискриминант выражался числом отрицательным, то изощряться в вычислении корней было бы нерационально – их просто нет. В случае если D=0, корень только 1. Теперь все-таки выполним расчет, чтобы определить эти 2 корня.

Для подсчета 1 корня ко второму коэффициенту со знаком – прибавляем корень из D и делим это на удвоенный первый коэффициент: -3 + квадратный корень из 16, делим на 2. Выйдет 1/2. Вычисление второго аналогично, только корень из D вычитаем. Имеем в результате – 3 целых и 1/2.

3 Сложнее квадратного уравнение кубическое. Вид у него такой: х3-3х2-4х+20=0.

Подбираем число, на которое можно поделить свободный член, чтобы слева появился 0. Делители для 20 – это ±1, ±2, ±4, ±5, ± 10, ± 20.

Совет 1: Как раскрыть скобки в уравнении

Например, -(2х-3)=-2х+3.

2 Перемножение двух скобок.Если в уравнении присутствует произведение двух скобок, раскрытие скобок происходит по стандартному правилу. Каждый член первой скобки перемножается с каждым членом второй скобки. Полученные числа суммируются. При этом произведение двух «плюсов» или двух «минусов» дает слагаемому знак «плюс», а если множители имеют разные знаки, то слагаемое получает знак «минус».Рассмотрим пример.(5х+1)(3х-4)=5х*3х-5х*4+1*3х-1*4=15х^2-20х+3х-4=15х^2-17х-4.
3 Раскрытием скобок иногда также называют возведение выражения в степень. Формулы возведения в квадрат и в куб надо знать наизусть и помнить.(a+b)^2=a^2+2ab+b^2(a-b)^2=a^2-2ab+b^2(a+b)^3=a^3+3a^2*b+3ab^2+b^3(a-b)^3=a^3-3a^2*b+3ab^2-b^3Формулы возведения выражения в степени больше трех можно получить при помощи треугольника Паскаля.

Источники:

    формула раскрытия

Найти корень уравнения?

Это просто!

Поиск всех возможных корней уравнения является его решением.

То есть нужно выполнить ряд математических действий, которые его упрощают. А потом приводят к равенству, в котором содержится только неизвестная и какое-либо число.

В алгебре при решении уравнений можно прийти к такой ситуации, что корней не будет совсем. Тогда говорят о том, что оно неразрешимо. А в ответе такого уравнения нужно записать, что решений нет.

Но иногда бывает и противоположное.

То есть в процессе многочисленных преобразований появляются посторонние корни. Они не дадут верного равенства при подстановке. Поэтому числа всегда нужно проверять, чтобы избежать ситуации с лишними корнями в ответе. Иначе уравнение не будет считаться решенным.Оно всегда может быть преобразовано в запись следующего вида: а * х + в = 0.
В нем «а» всегда не равно нулю. Чтобы понять сколько корней имеет уравнение, его потребуется решить в общем виде.

Квадратное уравнение

Например, уравнение

. Если один из коэффициентов или равен нулю или оба коэффициента равны нулю, то квадратное уравнение называется неполным.

Например,

. Значение неизвестного

, при котором квадратное уравнение обращается в верное числовое равенство, называется корнем этого уравнения. Например, значение

является корнем квадратного уравнения

, потому что

или

— это верное числовое равенство.

Решение квадратных уравнений

А именно:

  • Если D = 0, есть ровно один корень;
  • Если D < 0, корней>
  • Если D > 0, корней будет два.

Обратите внимание: дискриминант указывает на количество корней, а вовсе не на их знаки, как почему-то многие считают. Взгляните на примеры — и сами все поймете: Задача.

Сколько корней имеют квадратные уравнения:

  • x2 − 6x + 9 = 0.
  • x2 − 8x + 12 = 0;
  • 5×2 + 3x + 7 = 0;

Выпишем коэффициенты для первого уравнения и найдем дискриминант:a = 1, b = −8, c = 12;D = (−8)2 − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16 Итак, дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два различных корня.

Аналогично разбираем второе уравнение:a = 5; b = 3; c = 7;D = 32 − 4 · 5 · 7 = 9 − 140 = −131.

Дискриминант отрицательный, корней нет.

Осталось последнее уравнение:a = 1; b = −6; c = 9;D = (−6)2 − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.

Дискриминант равен нулю — корень будет один.

Обратите внимание, что для каждого уравнения были выписаны коэффициенты.

Уравнение

может иметь всего один корень, может иметь несколько корней или не иметь корней вообще.

Например, корнем уравнения 10 — x = 2 является число 8, а у уравнения x2 = 49 два корня – +7 и -7.

Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что их нет.

Кроме числовых уравнений, подобных приведённым выше, где все известные величины обозначены числами, существуют ещё буквенные уравнения, в которых кроме букв, обозначающих неизвестные, входят ещё буквы, обозначающие известные (или предполагаемые известные) величины.