Оглавление:
Математическая запись этого оператора (радикала) представлена на рисунке.Из описанного действия плавно вытекает его определение. Чтобы извлечь из некоторого числа, нужно выяснить, какое даст при умножении на себя подкоренное выражение.
Это число и будет квадратным корнем.
Если записать это математически, то получится следующее: х*х=х2=у, значит √у=х.По своей сути корень — это дробная степень, у которой в числителе стоит единица. А знаменатель может быть любым. Например, у квадратного корня он равен двум.
Поэтому все действия, которые можно выполнить со степенями, будут справедливы и для корней.И требования к этим действиям у них одинаковые. Если умножение, деление и возведение в степень не встречают затруднений у учеников, то сложение корней, как и их вычитание, иногда приводит в замешательство.
И здесь начинаются
Здравствуйте!
3 способа как вычислять квадратные корни без калькуляторов.
Третий способ описан в книге Арифметика, составленная учителем математики, в Московском районе Марьино. ЕГЭ математика. Как считать без калькулятора?
Как распознать талантливого математика. Вот простой способ вычисления квадратного корня из 3х-значных чисел. Как складывать и вычитать квадратные корни?
А складывать или вычитать корни просто!Складывать и даже вычитать квадратные корни можно только при условии, что у них одинаковое подкоренное выражение, то есть вы можете сложить или вычесть 2√3 и 4√3, но не 2√3 и 2√5.
«Возвести в квадрат» означает однократно умножить конкретное число само на себя.
Обычно процесс извлечения корневого квадрата из числа приводится в виде таблицы на обложках многих школьных тетрадей по математике. Корни бывают следующих типов:
И так далее. В качестве степени может выступать любое число.
— Полезная информация для всех
Например, если возвести в квадрат 2, получится 4. Если возвести в квадрат 7, получится 49. Квадрат числа 9 равен 81. Таким образом, квадратный корень из 4 — это 2, из 49 — это 7, а из 81 — это 9.
Как правило, обучение этой теме в математике начинается именно с квадратных корней.
Для того, чтобы сходу определять его, учащийся средней школы должен наизусть знать таблицу умножения. Тем, кто нетвердо знает эту таблицу, приходится пользоваться подсказками. Обычно процесс извлечения корневого квадрата из числа приводится в виде таблицы на обложках многих школьных тетрадей по математике.
Корни бывают следующих типов:
Обращаем ваше внимание, что второй множитель заносится под знак корня.
Нельзя складывать или вычитать подкоренные числа! Если у вас пример с большим количеством одинаковых подкоренных выражений, то подчеркивайте такие выражения одинарными, двойными и тройными линиями, чтобы облегчить процесс вычисления. Давайте попробуем решить данный пример: 650=6(25×2)=(6×5)2=302.
Для начала необходимо разложить 50 на 2 множителя 25 и 2, затем извлечь корень из 25, который равен 5, а 5 вынести из-под корня. После этого нужно умножить 5 на 6 (множитель у корня) и получить 302. 28=2(4×2)=(2×2)2=42. Сперва необходимо разложить 8 на 2 множителя: 4 и 2.
Для примера возьмем заданное выражение √4 + √9.
Первое число 4 является квадратом числа 2.
Второе число 9 является квадратом числа 3. Таким образом, можно получить следующее равенство: √4 + √9 = 2 + 3 = 5. Все, пример решен. Но так просто бывает далеко не всегда.
Если полных квадратов нет под знаком корня, можно попробовать вынести множитель числа из-под знака корня.
Для примера возьмём выражение √24 + √54. Раскладываем числа на множители: 24 = 2 * 2 * 2 * 3, 54 = 2 * 3 * 3 * 3.
В числе 24 мы имеем множитель 4, его можно вынести из-под знака квадратного корня. В числе 54 мы имеем множитель 9.
Получаем равенство: √24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6. Рассматривая данный пример, мы получаем вынос множителя из-под знака корня, тем самым упрощая заданное выражение.
Рассмотрим следующую ситуацию: сумма двух квадратных корней – это знаменатель дроби, например, A / (√a + √b).
С какого перепугу это бывает нужно — вопрос отдельный. Мы разберём лишь алгоритм. Тем, кому не терпится сразу перейти ко второй части — милости прошу.
С остальными начнём по порядку. Начнём с самого простого — классических квадратных корней.
Тех самых, которые обозначаются $\sqrt{a}$ и $\sqrt{b}$. Для них всё вообще очевидно: Правило умножения. Чтобы умножить один квадратный корень на другой, нужно просто перемножить их подкоренные выражения, а результат записать под общим радикалом: \[\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}=\sqrt{a\cdot b}\] Никаких дополнительных ограничений на числа, стоящие справа или слева, не накладывается: если корни-множители существуют, то и произведение тоже существует.
Примеры. Рассмотрим сразу четыре примера с числами: \[\begin{align} & \sqrt{25}\cdot \sqrt{4}=\sqrt{25\cdot 4}=\sqrt{100}=10; \\ & \sqrt{32}\cdot \sqrt{2}=\sqrt{32\cdot 2}=\sqrt{64}=8; \\ & \sqrt{54}\cdot
Обращаем ваше внимание, что второй множитель заносится под знак корня. После процесса упрощения необходимо подчеркнуть корни с одинаковыми подкоренными выражениями — только их можно складывать и вычитать.
У корней с одинаковыми подкоренными выражениями необходимо сложить или вычесть множители, которые стоят перед знаком корня.
Подкоренное выражение остается без изменений.
Нельзя складывать или вычитать подкоренные числа! Если у вас пример с большим количеством одинаковых подкоренных выражений, то подчеркивайте такие выражения одинарными, двойными и тройными линиями, чтобы облегчить процесс вычисления.
Давайте попробуем решить данный пример: 6 50 = 6 ( 25 × 2 ) = ( 6 × 5 ) 2 = 30 2 .
Для начала необходимо разложить 50 на 2 множителя 25 и 2, затем извлечь корень из 25, который равен 5, а 5 вынести из-под корня.
После этого нужно умножить 5 на 6 (множитель у корня) и получить 30 2 . 2 8 = 2 ( 4 × 2 ) = ( 2 × 2 ) 2 = 4 2 .
Из этого следует: 4=2×2=2.
Поэтому 14436=4=2. Алгоритм действий: Записать дробь Перепишите выражение в виде дроби (если оно представлено так). Это значительно облегчает процесс деления выражений с квадратными корнями, особенно при разложении на множители. 8÷36, переписываем так 836 Разложить на множители каждое из подкоренных выражений Число под корнем разложите на множители, как и любое другое целое число, только множители запишите под знаком корня.
836=2×2×26×6 Упростить числитель и знаменатель дроби Для этого следует вынести из-под знака корня множители, представляющие собой полные квадраты.
Таким образом, множитель подкоренного выражения станет множителем перед знаком корня.