Оглавление:
Например, относительно предложений «Великий русский учёный М. В. Ломоносов родился в 1711 году» и «Two plus six Is eight» можно однозначно сказать, что они истинны. Предложение «Зимой воробьи впадают в спячку» ложно.
Следовательно, эти предложения являются высказываниями. В русском языке высказывания выражаются повествовательными предложениями.
Но не всякое повествовательное предложение является высказыванием.
Относительно предложения
«Компьютерная графика — самая интересная тема в курсе школьной информатики»
также нельзя однозначно сказать, истинно оно или ложно.
Закон контрапозиции: (A ? B) = (B ? A). Для логических переменных справедливы и общематематические законы.
Для простоты записи приведем общематематические законы для трех логических переменных A, В и С: 1. Коммутативный закон: A & B = B & A; A ? B = B ? A. 2. Ассоциативный закон: A & (B & C) = (A & B) & C; A ?
(B ? C) = (A ? B) ? C. 3. Дистрибутивный закон: A & (B ?
C) = (A & B) ? (A & C). Как уже отмечалось, с помощью законов алгебры логики можно производить равносильные преобразования логических выражений с целью их упрощения. В алгебре логики на основе принятого соглашения установлены следующие правила (приоритеты) для выполнения логических операций: первыми выполняются операции в скобках, затем в следующем порядке: инверсия (отрицание), конъюнкция ( & ), дизъюнкция (v), импликация (?), эквиваленция (?) Выполним преобразование, например, логической функции применив соответствующие законы алгебры логики.
Некоторые преобразования логических формул похожи на преобразования формул в обычной алгебре (вынесение общего множителя за скобки, использование переместительного и сочетательного законов и т.п.), тогда как другие преобразования основаны на свойствах, которыми не обладают операции обычной алгебры (использование распределительного закона для конъюнкции, законов поглощения, склеивания, де Моргана и др.).
(законы алгебры логики применяются в следующей последовательности: правило де Моргана, сочетательный закон, правило операций переменной с её инверсией и правило операций с константами); 2.
(применяется правило де Моргана, выносится за скобки общий множитель, используется правило операций переменной с её инверсией); 3.
Нарушитель правил движения.
Тогда каждый свидетель имел истинное составное высказывание: Ж&КvЖ&К, С&ЗvС&З, М&КvМ&К.Одновременно не может быть два истинных цвета и марки: К&С=0,Ж&З=0, М&Ж=0, М&З=0.
Логическое произведение высказываний свидетелей должно быть истинным: (Ж&КvЖ&К) &(С&ЗvС&З)&( М&К vМ&К)= Ж&К&С&З&М&К v Ж&К&С&З&М&К v Ж&К&С&З&М&К v Ж&К&С&З&М&К v Ж&К&С&З&М&К v Ж&К&С&З&М&К v Ж&К&С&З&М&К v Ж&К&С&З &М&К= 0 v 0 v Ж&К&С&З&М&К
Распределительный закон Распределительный закон здесь также справедлив, как и в обычной алгебре. Специфика его в булевой алгебре проявляется в некоторых частных случаях. Эти специфичные случаи и формулируются как распределительный закон булевой алгебры: —для конъюнкции конъюнкция переменной и дизъюнкции эквивалентна дизъюнкции конъюнкций; —для дизъюнкции (a vb)(a vc)=a v bc, дизъюнкция переменной и конъюнкции равносильна конъюнкции дизъюнкций этой переменной с сомножителями.
Справедливость распределительного закона для дизъюнкции докажем следующими простейшими преобразованиями: (a vb)(a vc)= (aa v ac v ab v bc)=a v a(b v c)v bc=a(1 v (b v c)) v bc . В результате получаем (avb)(avc)=avbc, так как 1 v (bv c)=1 независимо от выражения в скобках. —для дизъюнкции отрицание дизъюнкции логических переменных эквивалентно конъюнкции отрицаний этих переменных;
Основные законы математической логики.
Пример.
Упростить логическое выражение:
Заключение Стоит отметить, что на практике множество элементарных логических операций является обязательной частью набора инструкций всех современных микропроцессоров и соответственно входит в языки программирования.
Примеры. 5. Основные законы математической логики. Примеры. Стр 4 из 5 Соседние файлы в предмете 15.04.201554.78 Кб 21.03.201661.03 Кб 21.03.201654.78 Кб 21.03.2016180.22 Кб
Они служат для упрощения формул или приведения их к определённому виду путем использования основных законов алгебры логики. Под упрощением формулы, не содержащей операций импликации и эквиваленции, понимают равносильное преобразование, приводящее к формуле, которая либо содержит по сравнению с исходной меньшее число операций конъюнкции и дизъюнкции и не содержит отрицаний неэлементарных формул, либо содержит меньшее число вхождений переменных.
Некоторые преобразования логических формул похожи на преобразования формул в обычной алгебре (вынесение общего множителя за скобки, использование переместительного и сочетательного законов и т.п.), тогда как другие преобразования основаны на свойствах, которыми не обладают операции обычной алгебры (использование распределительного закона для конъюнкции, законов поглощения, склеивания, де Моргана и др.). Закон Формулировка 1. Закон тождества Всякое высказывание тождественно самому себе.
2.
При нарушении этого закона возможны логические ошибки. Например, рассуждение Правильно говорят, что язык до Киева доведет, а я купил вчера копченый язык, значит, теперь смело могу идти в Киев неверно, так как первое и второе слова «язык» обозначают разные понятия. В рассуждении: Движение вечно.
Хождение в школу — движение. Следовательно, хождение в школу вечно слово «движение» используется в двух разных смыслах (первое — в философском смысле — как атрибут материи, второе — в обыденном смысле — как действие по перемещению в пространстве), что приводит к ложному выводу.
Закон непротиворечия: В один и тот же момент времени высказывание может быть либо истинным, либо ложным, третьего не дано. Истинно либо А, либо не А. Примеры выполнения закона исключенного третьего: 1.
Число 12345 либо четное, либо нечетное, третьего не дано.
2. Предприятие работает убыточно или безубыточно. 3. Эта жидкость является или не является кислотой.
Построение таблиц истинности функцийПример 5.
Построить таблицу истинности функции:
а) запись заданной функции в СДНФ. Данная функция зависит от трех переменных и записана в ДНФ. Для записи функции в СДНФ первая конъюнкция умножается на выражение
, а вторая — на выражение
.
В скобках используются те переменные и их отрицания, которые отсутствуют в конъюнкциях:
. б) определение наборов, на которых функция принимает единичное значение.