Главная - Жилищное право - Найти границы функции не пользуясь правилом лопиталя

Найти границы функции не пользуясь правилом лопиталя


Найти границы функции не пользуясь правилом лопиталя

Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя


Ускорение свободного падения у поверхности Земли

. Радиус Земли

Решение На спутник, движущийся по круговой орбите, действует сила тяжести

, которая во много раз превосходит силы тяготения, действующие на него со стороны других небесных тел, поэтому по второму закону Ньютона

.

Здесь

— масса спутника,

его центростремительное ускорение. По закону всемирного тяготения

.

Здесь

Правила Лопиталя.

Примеры решений

Всего правил два, и они очень похожи друг на друга, как по сути, так и по способу применения. Кроме непосредственных примеров по теме, мы изучим и дополнительный материал, который будет полезен в ходе дальнейшего изучения математического анализа. Сразу оговорюсь, что правила будут приведены в лаконичном «практическом» виде, и если вам предстоит сдавать теорию, рекомендую обратиться к учебнику за более строгими выкладками.

Рассмотрим функции

, которые в некоторой точке

.

Если существует предел их отношений

, то в целях устранения неопределённости

можно взять две производные – от числителя и от знаменателя. При этом:

, то есть при дифференцировании числителя и знаменателя значение предела не меняется.

1. Найти указанные пределы, не пользуясь правилом Лопиталя

Область определения:

,

функция нечётная, график симметричен относительно начала координат.Непериодическая.Точки пересечения с осями.

С осью OX: при

,

, следовательно, точек пересечения нет.С осью ОY точек пересечения нет. Асимптоты. а) Вертикальные асимптоты.x=0 – вертикальная асимптота графика.б) Ищем наклонные асимптоты в виде y=kx+b.

— наклонная асимптота графика.Экстремумы функции: Т. к. при

, , а при

, , то

— точка минимума.

Т.

Правило Лопиталя для чайников: определение, примеры решения, формулы

Часто в заданиях встречается формулировка: найти предел, не используя правило Лопиталя. О приемах, которые помогут Вам в этом, также читайте в нашей статье.

Если имеешь дело с пределами дроби двух функций, будь готов: скоро встретишься с неопределенностью вида 0/0 или бесконечность/бесконечность. Как это понимать? В числителе и знаменателе выражения стремятся к нулю или бесконечности. Что делать с таким пределом, на первый взгляд – совершенно непонятно.

Однако если применить правило Лопиталя и немного подумать, все становится на свои места. Но сформулируем правило Лопиталя-Бернулли. Если быть совершенно точными, оно выражается теоремой. Правило Лопиталя, определение: Если две функции дифференцируемы в окрестности точки x=a обращаются в нуль в этой точке, и существует предел отношения производных этих функций, то при х стремящемся к а существует предел отношения самих функций, равный пределу отношения производных.
Запишем формулу, и все сразу станет проще.

Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

В конце работы следует проставить дату ее выполнения и расписаться. · В работу должны быть включены все задачи, указанные в задании.

Работы, содержащие не все задачи, а также задачи не своего варианта, не рецензируются. · Решение задач следует располагать в порядке номеров указанных в заданиях, сохраняя номера задач.

· Перед решением каждой задачи надо полностью переписать ее условие. · Решение задач следует излагать подробно и аккуратно, объясняя и мотивируя все действия по ходу решения.

· Решение задач геометрического содержания должно сопровождаться чертежами, выполненными аккуратно, с указанием осей координат и единиц масштаба. Объяснения к задачам должно соответствовать обозначениям, приведенным на чертеже. · Контрольная работа должна выполняться самостоятельно.

Раскрытие неопределенности по правилу Лопиталя

Пример №3.

Несамостоятельно выполненная работа лишает студента возможности проверить степень своей подготовленности по теме. Если преподаватель установит несамостоятельное выполнение работы, то она не будет зачтена.

Найти . Решение. . Замечание 1.Применяя неоднократно правило Лопиталя, нужно каждый раз проверять, не раскрылась ли уже неопределенность, иначе можно получить неверный результат. Замечание 2.В теореме требование существования является существенным, так как если он не существует, то это не означает, что тоже не существует.
Например, – не существует, однако .

Неопределенности вида 0·∞ и ∞-∞ с помощью тождественных преобразований сводятся к неопределенностям 0/0 или ∞/∞ и затем раскрываются по правилу Лопиталя. Неопределенность 0·∞ возникает, если требуется найти при условии .

В результате преобразования (либо ) получается неопределенность 0/0 (либо ∞/∞).

Если нужно найти , причем и , то, представив разность f(x) – g(x) = , получим неопределенность 0/0. Неопределенности вида 00, 1∞, ∞0 путем логарифмирования выражения [f(x)]g(x)сводятся к неопределенности 0·∞, рассмотренной выше.

Найти пределы функций (не пользуясь правилом Лопиталя)

К зачету/тестированию студент допускается лишь в случае, если его контрольная работа зачтена.

Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины: а) основная литература: 1. Высшая математика для экономистов: учебник для студентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям / [Н.Ш. Кремер и др.]; под ред. Н.Ш. Кремера.

— 3-е изд. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2013.

— 479 с. 2. Математика и информатика. Учебное пособие / В.Б. Уткин, К.В. Балдин, А.В. Рукосуев. — 4-e изд. — М.: Дашков и К, 2011. — 472 с. б) дополнительная литература: 3. Функции нескольких переменных: методические указания для самостоятельной работы/ Воронежский филиал ГОУ ВПО РГТЭУ; [сост.: В.Н.

Ястребков.] – Воронеж: Воронежский ф-л РГТЭУ, 2010. – 42 с. 4. Обыкновенные дифференциальные уравнения [Текст]: сборник задач для самостоятельной работы по курсу «Математика» / ВФ ГОУ ВПО «РГТЭУ». Каф. Математики и ЕНД. Сост.

Найти пределы (не пользуясь правилом Лопиталя)

Написать уравнение плоскости, проходящей через точку

перпендикулярно вектору

.

Вычислить.

где

,

.

9) Вычислить определитель

10) Решить систему линейных алгебраических уравнений тремя методами (матричным, Крамера, Гаусса) Найти все значения корня. а)

ЗАДАЧА 1.