Главная - Пенсионное страхование - Вероятность того что случайная величина примет значение из данного интнрвала

Вероятность того что случайная величина примет значение из данного интнрвала


Вероятность того что случайная величина примет значение из данного интнрвала

Возможные события заключаются в том, что стоимость акции Y примет некоторое значение в пределах от 0 до ∞. Пример. Однократное бросание игральной кости. Возможные события заключаются в том, что на верхней грани выпадает Z: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Пример. Подбрасывается монета n раз.

Возможные результаты: герб выпал 0, 1, 2, …, n раз.

Различают дискретные и непрерывные случайные величины. Если множество возможных значений случайной величины конечно или образуют бесконечную числовую последовательность, то такая случайная величина называется дискретной (примеры 3.1, 3.3, 3.4).

Случайная величина, множество значений которой заполняет сплошь некоторый числовой промежуток, называетсянепрерывной (пример 3.2). Если случайная величина не относится ни к дискретным, ни к непрерывным случайным

Непрерывная случайная величина


Это свойство непосредственно вытекает из определения вероятности случайного события, откуда следует, что вероятность — положительная величина, не превышающая единицу.

Заметим, что дискретные и непрерывные величины не исчерпывают все типы случайных величин.

Итак, Свойство 2. Функция распределения есть неубывающая функция, то есть при

Доказательство. Чтобы случайная величина X принимала значение, меньшее

, она должна находиться либо в интервале

либо в интервале

.

Распределение вероятностей непрерывных случайных величин

Отсюда

.

Ясно, что эти два события несовместные, ибо случайная величина не может находиться и в том, и в другом интервале. Но вероятность суммы несовместных событий равна сумме их вероятностей так как любая вероятность — неотрицательное число.
Рис. 2. Кривая распределения вероятностей случайной величины

Функция

называется плотностью распределения вероятностей случайной величины .

График функции называется кривой распределения вероятностей случайной величины . Важнейшее свойство кривой: вероятность того, что случайная величина примет значение, принадлежащее промежутку и , равна площади, ограниченной кривой распределения вероятностей, осью абсцисс и двумя ординатами при значениях случайной величины и .

Это следует из того, что произведение

выражает вероятность того, что случайная

tv_ms_1

По условию

,

и

.

Следовательно, искомая вероятность#265Непрерывная случайная величина X задана плотностью распределения

в интервале

; вне этого интервала

. Найти вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу

.Решение Воспользуемся формулой

.

Функция распределения.

Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал

Функция распределения – одна из форм закона распределения. Функцию распределения также называют интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения.

; 2.

Свойства функции распределения: 1.
Решение. Ряд распределения имеет вид: Х P 0,81 0,18 0,01 Построим функцию распределения величины Х: 1) при х£0 F(x)=P(X<> 2) при 0<> 3) при 1<> 4) при x>2 F(x)=P(X Пусть Х – непрерывная с.в.

F(x) – неубывающая функция, т.е. если х2>x1, то F(х2)>F(x1); 3. F(x) – функция, непрерывная слева; 4. F(-¥)=0; F(¥)=1. Задача. Найти функцию распределения с.в. Х из задачи №2 предыдущего пункта.
Вычислим вероятность того, что Х попадет в интервал (a, b), т.е.

P(a<> Рассмотрим три с.с.: X

15.

Функция распределения и её свойства. Вероятность попадания случайной величины на заданный интервал.

Свойства плотности распределения.

f(x) ≥ 0, так как функция распределения является неубывающей.

, что следует из определения плотности распределения.Вероятность попадания случайной величины в интервал (а, b) определяется формулой

Действительно,

(условие нормировки). Его справедливость следует из того, что

а

так как

при

Вероятность попадания в интервал нормально распределенной случайной величины

Интегральная функция нормального распределения связана с функцией Лапласа

, значения которой берутся из таблиц (см.ниже).

Для вычисления вероятности того, что нормально распределенная случайная величина X будет принимать значения в промежутке (α β) используется формула

.

Среднее значение или математическое ожидание a = . Среднее квадратическое отклонение σ = или дисперсия D = Вероятность попадания величины a в заданный интервал α = , β = Вероятность того, что абсолютная величина X-a отклонения окажется меньше δ = Пример задачи.

Случайная величина X распределена нормально. Её математическое ожидание a = 2, а среднее квадратическое отклонение σ=5.

Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, принадлежащее интервалу (1; 4).

Непрерывные случайные величины

Функция распределения вероятностей обладает рядом свойств.

  1. 2. 0?F(x)?1, т.к. вероятность не может быть больше 1.
  2. 4.
  3. 1. F(x)?0, т.к. вероятность не может быть отрицательной;
  4. 3. Если , то F()?F(), т.е. F(x) является неубывающей функцией.

5.

F(x) является дифференцируемой функцией, т.е. существует Функция f(x) называется функцией плотности распределения вероятностей непрерывной случайной величины или законом распределения.

Функция f(x) не является вероятностью.

Вероятность того, что случайная величина x примет значения из интервала б < x>< в находится по> P(б < x>< в)>

На практике задаётся функция плотности f(x) и вероятности находятся интегрированием. Вспомним, что определённый интеграл геометрически представляет площадь криволинейной трапеции.

Случайная величина распределена по нормальному закону найти вероятность

Случайные ошибки измерения принимаются за случайную величину Х и подчинены нормальному закону с математическим ожиданием а=0, со средним квадратическоим отклонение s=1мм. Найти вероятность того, что измерение будет сделано с ошибкой, не превышающей по абсолютной величине 2мм.

Дано: e=2, s=1мм, а=0. По формуле (5.20): P (|X–0| ≤ 2) = 2Ф(e/s) = 2Ф(2/1) = 2Ф(2,0). По таблице Приложения 1 можно найти: Ф (2,0)=0,4772.

Вероятность того, что измерение будет сделано с ошибкой, не превышающей по абсолютной величине 1 мм равна: P (|X| ≤ e) = 2×0,4772 = 0,9544. Случайная величина, распределенная по нормальному закону с параметрами: а=50 и s=15.