Возможные события заключаются в том, что стоимость акции Y примет некоторое значение в пределах от 0 до ∞. Пример. Однократное бросание игральной кости. Возможные события заключаются в том, что на верхней грани выпадает Z: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Пример. Подбрасывается монета n раз.
Возможные результаты: герб выпал 0, 1, 2, …, n раз.
Различают дискретные и непрерывные случайные величины. Если множество возможных значений случайной величины конечно или образуют бесконечную числовую последовательность, то такая случайная величина называется дискретной (примеры 3.1, 3.3, 3.4).
Случайная величина, множество значений которой заполняет сплошь некоторый числовой промежуток, называетсянепрерывной (пример 3.2). Если случайная величина не относится ни к дискретным, ни к непрерывным случайным
Оглавление:
Это свойство непосредственно вытекает из определения вероятности случайного события, откуда следует, что вероятность — положительная величина, не превышающая единицу.
Итак, Свойство 2. Функция распределения есть неубывающая функция, то есть при
Доказательство. Чтобы случайная величина X принимала значение, меньшее
, она должна находиться либо в интервале
либо в интервале
.
Отсюда
.
Функция
называется плотностью распределения вероятностей случайной величины .
Это следует из того, что произведение
выражает вероятность того, что случайная
По условию
,
и
.
Следовательно, искомая вероятность#265Непрерывная случайная величина X задана плотностью распределения
в интервале
; вне этого интервала
. Найти вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу
.Решение Воспользуемся формулой
.
Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал
Функция распределения – одна из форм закона распределения. Функцию распределения также называют интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения.
; 2.
Функция распределения и её свойства. Вероятность попадания случайной величины на заданный интервал.
Свойства плотности распределения.
f(x) ≥ 0, так как функция распределения является неубывающей.
, что следует из определения плотности распределения.Вероятность попадания случайной величины в интервал (а, b) определяется формулой
Действительно,
(условие нормировки). Его справедливость следует из того, что
а
так как
при
Интегральная функция нормального распределения связана с функцией Лапласа
, значения которой берутся из таблиц (см.ниже).
Для вычисления вероятности того, что нормально распределенная случайная величина X будет принимать значения в промежутке (α β) используется формула
.
Среднее значение или математическое ожидание a = . Среднее квадратическое отклонение σ = или дисперсия D = Вероятность попадания величины a в заданный интервал α = , β = Вероятность того, что абсолютная величина X-a отклонения окажется меньше δ = Пример задачи.
Случайная величина X распределена нормально. Её математическое ожидание a = 2, а среднее квадратическое отклонение σ=5.
Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, принадлежащее интервалу (1; 4).
Функция распределения вероятностей обладает рядом свойств.
5.
F(x) является дифференцируемой функцией, т.е. существует Функция f(x) называется функцией плотности распределения вероятностей непрерывной случайной величины или законом распределения.
Функция f(x) не является вероятностью.
Вероятность того, что случайная величина x примет значения из интервала б < x>< в находится по> P(б < x>< в)>
На практике задаётся функция плотности f(x) и вероятности находятся интегрированием. Вспомним, что определённый интеграл геометрически представляет площадь криволинейной трапеции.
Случайные ошибки измерения принимаются за случайную величину Х и подчинены нормальному закону с математическим ожиданием а=0, со средним квадратическоим отклонение s=1мм. Найти вероятность того, что измерение будет сделано с ошибкой, не превышающей по абсолютной величине 2мм.
Дано: e=2, s=1мм, а=0. По формуле (5.20): P (|X–0| ≤ 2) = 2Ф(e/s) = 2Ф(2/1) = 2Ф(2,0). По таблице Приложения 1 можно найти: Ф (2,0)=0,4772.
Вероятность того, что измерение будет сделано с ошибкой, не превышающей по абсолютной величине 1 мм равна: P (|X| ≤ e) = 2×0,4772 = 0,9544. Случайная величина, распределенная по нормальному закону с параметрами: а=50 и s=15.